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Der Erwartungswert

Eine anschauliche Erklärung des Erwartungswertes mithilfe einfacher Beispiele mit Verwendung von Spielen

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert ist ein Grundbegriff der Stochastik, der sich als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments ergibt. Die Aufgabe einer Zufallsvariablen ist es, jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments numerische Werte  zuzuordnen. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen (eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie abzählbar unendlich viele Werte annimmt) wird als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den Werten dieser Ergebnisse berechnet. Beispielsweise würde der Erwartungswert für eine Zufallsvariable, die die Zahl wäre, die anhand des Würfelns eines gerechten 3-seitigen Würfels erhalten wird, wie folgt aussehen: (1 * 1/3) + (2 * 1/3) + (3 * 1/3) = 2.

Wenn man jetzt das Experiment mit einem Spiel vergleicht, dann bildet die Zufallsvariable die Spielergebnisse in den Gewinnbeträgen ab, und ihr Erwartungswert stellt auf diese Weise den durchschnittlichen Erwartungsgewinn des Spiels dar. Beim Erwartungswert handelt es sich um die reellen Zahlen, deshalb unterteilt man ihn im Allgemeinen in negative, neutrale und positive Werte. Im Alltag begegnen wir oft Spielen mit jeder Art von Erwartungswert, sodass der Erwartungswert eine einfache Heuristik des Entscheidungstreffens bietet.

Zur Darstellung jeder einzelnen Art von Spiel werden drei ähnliche Beispiele verwendet, die das Werfen einer Münze umfassen. Dies bedeutet, dass die Zufallsvariable in jedem Fall der Erwartungsgewinn nach dem einmaligen Werfen einer Münze ist. Angenommen, die Münze ist in jedem Szenario fair, also sind Kopf und Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 gleichmäßig wahrscheinlich.

Neutraler Erwartungswert

You flip the fair coin. 

Every time you get heads, you lose $1, 
and every time you get tails, you gain $1.

Der Erwartungswert sieht wie folgt aus: (-1 * 1/2) + (1 * 1/2) = 0. Die Münze ist fair und der Verlustbetrag ist dem Gewinnbetrag gleich, dadurch werden Sie im Laufe der Zeit weder Geld gewinnen noch verlieren. Obwohl es in einem solchen Szenario keinen Grund zum Spielen gibt, gibt es auch keinen Grund, nicht zu spielen. Folglich sind diese Arten von Spiel für die einfache Erholung am besten geeignet, wie beispielsweise Schere-Stein-Papier. Bei diesem Spiel stellt die zufällige Wahl einer Bewegung die optimale Strategie mit einem Erwartungsgewinn von 0 dar.

Positiver Erwartungswert

You flip the fair coin. 

Every time you get heads, you lose $1, 
and every time you get tails, you gain $2.

Der Erwartungswert wird so dargestellt: (-1 * 1/2) + (2 * 1/2) = 1/2. Kopf und Zahl charakterisieren sich durch gleiche Wahrscheinlichkeit, wodurch der größere Gewinn für Zahl den Verlust für Kopf überwiegt. Da Sie voraussichtlich in einem solchen Szenario im Laufe der Zeit Geld gewinnen, sollten Sie folglich diese Art spielen. Sie kommt in vielen reellen Entscheidungen vor. Hier sind einige von ihnen: Investitionen in den Aktienmarkt (die Börsen charakterisieren sich durch einen allgemeinen Aufwärtstrend im Laufe der Zeit), Prüfungsvorbereitung (ein paar Stunden Ausfallzeiten werden durch eine bessere Durchschnittsnote aufgewogen) oder Vorbereitung für ein Vorstellungsgespräch (ein paar Wochen Ausfallzeiten werden durch die Vorteile aus dem Erhalt einer besseren Arbeit aufgewogen).

Negativer Erwartungswert

You flip the fair coin.

Every time you get heads, you lose $1, 
and every time you get tails, you gain $1.
 
Additionally, there is a $0.01 fee
for every flip regardless of the outcome.

Der Erwartungswert hier ist (-1.01 * 1/2) + (.99 * 1/2) = -0.01. Ungeachtet der Tatsache, dass die Münze selbst fair ist und der Verlustbetrag dem Gewinnbetrag entspricht, führt die konstante Gebühr dazu, dass das Spiel zu einem Spiel mit einem negativen Wert wird. Da Sie voraussichtlich in einem solchen Szenario im Laufe der Zeit Geld verlieren, sollten Sie folglich diese Art nicht spielen. Dies ist bei vielen Glücksspielplattformen üblich: Das Haus bietet zuerst ein neutrales Spiel, berechnet dann eine Gebühr, wodurch die Neutralität des Spiels zerstört wird (deshalb sagt man, dass „das Haus immer gewinnt“).

Schlußfolgerungen

Das Überlegen über Entscheidungen hinsichtlich des Erwartungswertes ist eine einfache Möglichkeit, zu entscheiden, ob es einen wirtschaftlichen Grund zum Entfalten einer Tätigkeit gibt. Außer der reinen wirtschaftlichen Belohnung bestehen natürlich auch andere Methoden zum Messen der Nützlichkeit. Aus diesem Grund ist der Erwartungsgewinn kein narrensicheres Tool zum Entscheidungstreffen. Außerdem vergessen Sie nicht, dass der Erwartungswert bei unbegrenzter Wiederholung des Experiments funktioniert. Dementsprechend kann dies zu verzerrten Ansichten bestimmter Ereignisse führen, bei denen einige Möglichkeiten sehr selten vorkommen. Als Beispiel führen wir einen Lottogewinn an. Dies kann als eine gute Möglichkeit, einen positiven Erwartungswert zu erhalten, betrachtet werden. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass Sie diesen Wert irgendwann in Ihrem Leben in der Tat verwirklichen, ist so gering, dass es überhaupt keinen Sinn macht, Lottoscheine zu kaufen.

Sollten Sie Fragen zu Erwartungswert und seinen drei Arten haben, so können Sie sich an das Team von AI-United.de per Mail oder Q&A wenden.

Quelle

AI-United-Redaktion

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